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誤差的統(tǒng)計概念

放大字體  縮小字體 發(fā)布日期:2005-10-04
核心提示:一 . 隨機誤差的正態(tài)分布 1. 正態(tài)分布 隨機誤差的規(guī)律服從正態(tài)分布規(guī)律,可用正態(tài)分布曲線 (高斯分布的正態(tài)概率密度函數(shù)) 表示: (13) 式中: y 概率密度; m 總體平均值; s 總體標準偏差。 正態(tài)分布曲線依賴于 m 和 s 兩個基本參數(shù),曲線隨 m 和 s 的不同而不同。

. 隨機誤差的正態(tài)分布

  1. 正態(tài)分布

      隨機誤差的規(guī)律服從正態(tài)分布規(guī)律,可用正態(tài)分布曲線(高斯分布的正態(tài)概率密度函數(shù))表示:

              (13)

式中:y —概率密度;  m—總體平均值;s —總體標準偏差。

正態(tài)分布曲線依賴于m s 兩個基本參數(shù),曲線隨m s 的不同而不同。為簡便起見,使用一個新變數(shù)(u)來表達誤差分布函數(shù)式:

                         (14)

u的涵義是:偏差值(x-m)以標準偏差為單位來表示。

變換后的函數(shù)式為:

                (15)

由此繪制的曲線稱為“標準正態(tài)分布曲線” 。因為標準正態(tài)分布曲線橫坐標是以s 為單位,所以對于不同的測定值 m s ,都是適用的。

1:兩組精密度不同的測定值            圖2:標準正態(tài)分布曲線  

的正態(tài)分布曲線

“標準正態(tài)分布曲線”清楚地反映了隨機誤差的分布性質(zhì):

1)集中趨勢   當(dāng) x=m 時(u=0),,y此時最大,說明測定值x集中在 m 附近,或者說,m 是最可信賴值。

2)對稱趨勢   曲線以 x=m 這一直線為對稱軸,表明:

     正負誤差出現(xiàn)的概率相等。大誤差出現(xiàn)的概率小,小誤差出現(xiàn)的概率大;很大誤差出現(xiàn)的概率極小。在無限多次測定時,誤差的算術(shù)平均值極限為 0 。

3)總概率   曲線與橫坐標從-µ+ µ 在之間所包圍的面積代表具有各種大小誤差的測定值出現(xiàn)的概率的總和,其值為1(100%)

             (16)

    用數(shù)理統(tǒng)計方法可以證明并求出測定值 x 出現(xiàn)在不同 u 區(qū)間的概率(不同 u 值時所占的面積)即 x 落在 m± us 區(qū)間的概率: 

                                 置信區(qū)間          置信概率

         u = ± 1.00              x = m ± 1.00 s          68.3%

         u = ± 1.96              x = m ± 1.96 s          95.0%

         u = ± 3.00              x = m ± 3.00 s          99.7%

. 有限數(shù)據(jù)隨機誤差的 t 分布

    在實際測定中,測定次數(shù)是有限的,只有S,此時則用能合理地處理少量實驗數(shù)據(jù)的方法—t 分布

 1. t 分布曲線 (實際測定中,用 S 代替m、s

   t 分布曲線與標準正態(tài)分布曲線相似,縱坐標仍為概率密度,縱坐標則是新的統(tǒng)計量t

                   (17)

無限次測定,u一定 ®  就一定;

有限次測定:t 一定 ®  n (自由度)不同而不同。

    不同的 n 值及概率所對應(yīng)的t值,已有統(tǒng)計學(xué)家計算出來,可由有關(guān)表中查出。

 2. 平均值的置信區(qū)間

應(yīng)用t分布估計真值范圍,考慮的符號時,則可得到如下關(guān)系式:

m = x ± tP,n S              18)

同樣,對于樣本平均值也存在類似的關(guān)系式:

          19)

此式表示的是在一定概率下,以樣本平均值為中心的包括真值在內(nèi)的取值范圍,即平均值的置信區(qū)間。 稱為置信區(qū)間界限。

    此式表明:平均值與真值的關(guān)系,即說明平均值的可靠性。

    平均值的置信區(qū)間取決于測定的精密度、測定次數(shù)和置信水平(概率)。(分析工作中常規(guī)定為 95%)

測定精密度越高(S。瑴y定次數(shù)越多(n大),置信區(qū)間則越小,即平均值越準確。

 
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